Cette partie est une présentation de la géométrie semi-riemannienne (aussi appelée géométrie pseudo-riemannienne) à l’étude d’une variété lisse munie d’un tenseur métrique de signature arbitraire: la géométrie riemannienne, où la métrique est définie positive, et la géométrie de Lorentz.
Depuis de nombreuses années, ces deux géométries se sont développées de manière quasi-autonome:
- la géométrie riemannienne reformulée en coordonnées libres et orientée vers les problèmes globaux,
- la géométrie de Lorentz en notation tenseur classique consacrée à la relativité générale.
La divergence a été inversée car les physiciens, se tournant de plus en plus vers des méthodes invariantes, ont produit des résultats d’intérêt mathématique convaincant.
Après avoir établi le langage requis des variétés et des tenseurs (chapitres 1 et 2), le plan de cette section consistera à développer les fondements de la géométrie semi-riemannienne de la manière la plus simple possible et sans égard à la signature, permettant de mieux appréhender les cas de Riemannian et Lorentz (chapitres 3-5 et 7). Puis, deux parties seront examninées .
- On utilisera la notion d’isométrie pour développer des aspects algébriques de la géométrie semi-riemannienne: variétés de courbure constante, espaces symétriques et espaces homogènes (chapitres 8, 9 et 11); les introductions à ces chapitres donneront une description plus détaillée de leur contenu.
- L’autre partie appliquera la géométrie de Lorentz à la relativité spéciale et générale (chapitres 6, 12 et 13)
Le fait que la théorie de la relativité soit exprimée en termes de géométrie de Lorentz est une chance pour les géomètres, qui peuvent ainsi pénétrer étonnamment rapidement dans la cosmologie (décalage vers le rouge de la lumière par augmentation de sa longueur d’onde , univers en expansion et big bang) et, gravitation d’une étoile, un sujet non moins intéressant géométriquement (précession du périhélie, déviation de la lumière et trous noirs).
La nature des espaces-temps des chapitres 12 et 13 à avoir des singularités (big bang et trous noirs) est expliquée dans les termes abstraits de Lorentz par deux théorèmes dus respectivement à S. W. Hawking et R. Penrose; ce sont les objectifs du chapitre 14.
L’approche générale de cette section est sans coordonnées; Cependant, les coordonnées ne sont pas négligées. Typiquement, les objets géométriques sont définis de manière invariable, puis décrits en termes de coordonnées. En particulier, la définition d’un tenseur que j’ai adopté se convertit presque automatiquement en la formulation de coordonnées classique. Un certain nombre de preuves clés sont donnés en notation classique. Cette attitude est seulement raisonnable compte tenu de la vaste littérature dans chaque style.