La mécanique statistique peut être naturellement divisée en deux branches, l’une traitant des systèmes d’équilibre, l’autre des systèmes non équilibrés. Les propriétés d’équilibre des systèmes macroscopiques sont définies en principe par des moyennes appropriées dans des ensembles de Gibbs bien définis. Ceci fournit un cadre à la fois pour la compréhension qualitative et les approximations quantitatives du comportement à l’équilibre. Les phénomènes de non-équilibre sont beaucoup moins connus à l’heure actuelle. Une exception notable est offerte par le cas des gaz dilués.
Ici, une équation de base a été établie par Ludwig Boltzmann en 1872.
L’équation de Boltzmann constitue toujours la base de la théorie cinétique des gaz et s’est révélée féconde non seulement pour l’étude des gaz classiques que Boltzmann avait en tête, mais aussi pour l’étude du transport des électrons dans les solides et les plasmas. , transport de phonons dans les superfluides et transfert radiatif dans les atmosphères planétaires et stellaires.
La recherche dans les deux nouveaux domaines et l’ancien a connu une avancée considérable au cours des trente dernières années.
Au cours des dix dernières années, une nouvelle vague d’intérêt a entouré l’équation de Boltzmann, découlant de son rôle unique dans la théorie des phénomènes dépendant du temps dans les grands systèmes. En fait, l’équation de Boltzmann apparaît comme un prototype de description réduite prenant en compte seulement une information partielle sur l’état microscopique sous-jacent (entièrement décrit par les coordonnées et les moments de toutes les molécules), mais subissant néanmoins une évolution temporelle autonome. Ainsi, le problème de la dérivation rigoureuse de l’équation de Boltzmann de la description microscopique a suscité un certain intérêt parmi les physiciens et les mathématiciens. Ceci, à son tour, a ravivé l’intérêt pour la théorie de l’existence et de l’unicité des solutions de l’équation de Boltzmann, puisque ce problème s’est révélé intimement lié au précédent.
Ceci justifie l’apparition du présent ouvrage (qui tente de présenter une approche unifiée des problèmes qui se posent dans les différents domaines mentionnés ci-dessus) en exploitant les similitudes lorsqu’elles existent et en soulignant les différences lorsque cela est nécessaire. La ligne principale d’exposition, cependant, est liée à l’équation classique établie par Boltzmann, et par conséquent les descriptions détaillées de certaines applications se réfèrent presque exclusivement à des gaz neutres monatomiques.
Des références appropriées sont cependant données à des documents traitant de problèmes similaires dans d’autres domaines, en particulier en ce qui concerne le transport de neutrons, les mélanges gazeux et les gaz polyatomiques.

Théorie cinétique des gaz

Introduction

Selon la théorie moléculaire de la matière, un volume macroscopique de gaz (disons, 1 cm$^3$) est un système comprenant un très grand nombre (disons, $10^{20}$) de molécules se déplaçant de manière plutôt irrégulière. En principe, nous pouvons supposer, en ignorant les effets quantiques, que les molécules sont des particules (points de masse ou autres systèmes avec un petit nombre de degrés de liberté) obéissant aux lois de la mécanique classique.
On peut aussi supposer que les lois d’interaction entre les molécules sont parfaitement connues, de sorte qu’en principe, l’évolution du système est calculable, à condition que des données initiales appropriées soient données. Si les molécules sont, par exemple, des points de masse, les équations du mouvement sont:

$$ \bbox[white,8px,border:1px solid black] { \begin{align} \dot{\xi_i} &= X_i \nonumber\\ \dot{x_i} & = \xi_i \nonumber \end{align} } \label{ref1} $$

soit

$$ \bbox[white,8px,border:1px solid black] { \ddot{x_i}= X_i } $$

où $X_i$ est le vecteur de position de la i$^{ième}$ particule (i = 1, …, N) et $\xi_i$ son vecteur de vitesse;
$X_i$ et $\xi_i$ sont des fonctions de la variable de temps t et les points désignent, comme d’habitude, la différenciation par rapport à t.
Ici $X_i$ est la force agissant sur la i$^{ième}$ particule divisée par la masse de la particule. Une telle force sera en général la somme de la résultante des forces externes (par exemple, gravité ou, si l’observateur n’est pas inertiel, des forces apparentes telles que les forces centrifuges ou de Coriolis) et des forces décrivant l’action des autres particules du système sur la i$^{ième}$ particule. Comme nous l’avons déjà dit, l’expression de telles forces doit être donnée dans le cadre de la description du système mécanique.

Pour calculer l’évolution temporelle du système, il faudrait résoudre les $6\times N$ équations différentielles ($\ref{ref1}$) du premier ordre, avec les $6\times N$ inconnues constituant les composantes des $2\times N$ vecteurs ($X_i$,$\xi_i$) avec (i = 1, …, N). Une condition préalable à cela est la connaissance des $6\times N$ conditions initiales :