L’équation de Navier-Stokes est maintenant considérée comme la base universelle de la mécanique des fluides, quelle que soit la complexité et l’imprévisibilité du comportement de ses solutions. Elle est également connue pour être la seule équation hydrodynamique compatible avec l’isotropie et la linéarité de la relation contrainte-déformation. Pourtant, la vie au début de cette équation fut aussi fugace que la mousse sur une crête de vague. La preuve originale de Navier de 1822 n’a pas eu d’influence et l’équation a été redécouverte ou redessinée au moins quatre fois par Cauchy en 1823, par Poisson en 1829, par Saint-Venant en 1837 et par Stokes en 1845. Chaque nouvel investigateur ignora ou dénigra la contribution de ses prédécesseurs. Chacun avait sa propre façon de justifier l’équation. Chacun a jugé différemment le type de mouvement et la nature du système auquel il s’appliquait.
Tous ces enquêteurs ont souhaité combler le vide qu’ils percevaient entre la mécanique des fluides rationnelle héritée de d’Alembert, Euler et Lagrange, et le comportement réel des fluides dans les processus hydrauliques ou aérodynamiques. Un écart similaire existait dans le cas de l’élasticité. Les formules établies par les mathématiciens pour la flexion des prismes ont été peu utiles pour évaluer les limites de la rupture dans les constructions physiques. Les motoristes français formés à Polytechnique, tels que Navier, Cauchy et Saint-Venant, étaient les mieux équipés et les plus motivés pour combler ces lacunes. Comme étape préliminaire vers une théorie plus réaliste de l’élasticité, Navier annonça en 1821 les équations générales d’équilibre et de mouvement pour un corps élastique (isotrope, à une constante). Il obtint rapidement l’équation de Navier-Stokes en transposant son raisonnement à des fluides. D’autres découvreurs de l’équation partirent aussi de l’élasticité, à l’exception de Stokes qui inversa l’analogie.
En raison de cette interdépendance contextuelle et structurelle entre les solides élastiques et les fluides visqueux, le présent article porte autant sur la théorie générale de l’élasticité que sur l’équation de Navier-Stokes.
La comparaison entre les différentes preuves de cette équation – ou entre les preuves correspondantes de l’équation du mouvement d’un corps élastique – apporte des caractéristiques importantes de la physique mathématique dans la période 1820-1850. Le recours au raisonnement moléculaire était un problème méthodologique et ontologique fondamental. Les historiens ont souvent perçu une opposition entre la physique moléculaire Laplacienne d’une part et la physique macroscopique du continuum d’autre part, avec Poisson, champion de la physique antérieure, Fourier de la seconde. Cependant, des études plus approfondies de la théorie de la chaleur de Fourier ont montré que l’opposition concerne davantage la lecture britannique de cet ouvrage que son contenu réel. L’étude actuelle des contributions contemporaines à la dynamique des fluides et des corps élastiques apporte de nouvelles preuves de l’hybridation de la physique moléculaire et du continuum.
Tous les chercheurs dans ces domaines, qu’il s’agisse d’ingénieurs ou de mathématiciens, ont convenu que les propriétés des corps concrets réels nécessitaient l’existence de molécules non contiguës.
Il y avait même des preuves, de Cauchy, de Poisson et de Saint-Venant, qui affirmait rigoureusement que l’existence d’un solide continu était impossible. Beaucoup à l’époque croyaient que cette physique reposait sur une base ferme et non hypothétique. Les cinq auteurs de l’équation de Navier-Stokes partageaient une ontologie moléculaire, mais ils différaient considérablement quant à la mesure dans laquelle leurs dérivations impliquaient matériellement des hypothèses moléculaires.