Cette partie  commence par un traitement détaillé de la mécanique des métriques, des connexions et des géodésiques, sans laquelle on ne peut prétendre faire de la géométrie riemannienne. Elle introduit ensuite le tenseur de courbure de Riemann et passe rapidement à la théorie des sous-variétés pour donner une interprétation quantitative concrète au tenseur de courbure. A partir de là, tous les efforts sont orientés vers la démonstration des quatre théorèmes les plus fondamentaux :

• le théorème de Gauss-Bonnet (exprimant la courbure totale d’une surface en fonction de son type topologique),
• le théorème de Cartan-Hadamard (restriction de la topologie des variétés de courbure non-positive),
• le théorème de Bonnet de courbure strictement positive),
• un cas particulier du théorème de Cartan-Ambrose-Hicks (variétés caractérisantes de courbure constante).

Le but de cette section est d’introduire la théorie des variétés riemanniennes: ce sont des variétés lisses équipées de métriques riemanniennes (choix harmonieux de produits internes sur les espaces tangents) qui permettent de mesurer des grandeurs géométriques telles que les distances et les angles.
Cette théorie fait partie de la branche de géométrie différentielle moderne dans laquelle les idées «géométriques», au sens familier du mot, viennent au premier plan. Ces variétés riemanniennes sont le descendant direct du plan et de la géométrie plane d’Euclide, en appliquant la théorie de Gauss des surfaces incurvées dans l’espace.
Le thème central de la recherche en géométrie riemannienne est la notion de courbure et sa relation à la topologie. Cette partie est conçue pour vous aider à développer les outils et l’intuition dont vous aurez besoin pour une exploration approfondie de la courbure dans le contexte riemannien. Malheureusement, comme vous le découvrirez bientôt, un développement adéquat de la courbure dans un nombre arbitraire de dimensions exige beaucoup de machineries techniques, ce qui permet de perdre de vue le contenu géométrique sous-jacent.

Pour mettre le sujet en perspective, commençons donc par poser quelques questions très basiques
Qu’est-ce que la courbure? Quels sont les théorèmes importants à ce sujet?
Dans ce chapitre, nous explorons ces questions et les questions connexes de manière informelle, sans preuves. Dans le chapitre suivant, nous passons en revue quelques informations de base sur les tenseurs, les variétés et les faisceaux de vecteurs utilisés ici.
Le traitement « officiel » du sujet commence au chapitre 3.

Le Plan Euclidien

 

Pour avoir une idée du type de questions abordées par les géomètres riemanniens, il faut revenir aux racines mêmes de notre sujet. Le traitement de la géométrie comme sujet mathématique a commencé avec la géométrie plane euclidienne, celle que vous avez étudiée à l’école. Ses éléments sont les points, les lignes, les distances, les angles et les zones. Voici quelques théorèmes typiques:

Théorème 1.1 : Deux triangles euclidiens sont congruents si et seulement si les longueurs de leurs côtés correspondants sont égales.

Théorème 1.2 (appelé Théorème  SSS pour Side-Side-Side) : La somme des angles  d’un triangle dans un plan euclidien est égale à  π.

Aussi triviaux qu’ils semblent, ces deux théorèmes servent à illustrer deux types majeurs de résultats qui imprègnent l’étude de la géométrie; ici, nous les appelerons «théorèmes de classification» et «théorèmes locaux-globaux».

Le théorème SSS est un théorème de classification. Un tel théorème nous dit que pour déterminer si deux objets mathématiques sont équivalents (via une relation d’équivalence appropriée), il suffit de comparer un petit nombre (ou au moins fini!) d’invariants calculables.
Dans ce cas, la relation d’équivalence est la congruence-équivalence dans le groupe des mouvements rigides du plan et les invariants sont les longueurs des trois côtés.

Le théorème de somme des angles d’un triangle  est d’un genre différent. Il relie une propriété géométrique locale (mesure d’angle) à une propriété globale (celle d’un polygone à trois côtés ou d’un triangle). La plupart des théorèmes que nous étudions dans ce livre sont de ce type. Dans notre cadre, faute d’un meilleur nom, nous appelerons théorèmes locaux-globaux.
Après avoir prouvé les faits de base sur les points, les lignes et les figures construites directement à partir d’eux, on peut continuer à étudier d’autres figures dérivées des éléments de base, tels que les cercles. Deux résultats typiques sur les cercles sont donnés ci-dessous; le premier est un théorème de classification, tandis que le second est un théorème local-global. (Il n’est peut-être pas évident à ce stade de saisir pourquoi nous considérons que le second est un théorème local-global, mais cela apparaîtra plus clair plus tard)

Théorème 1.3 : (Théorème de classification dans le cadre du cercle) Deux cercles dans le plan Euclidien sont congruents si et seulement s’ils ont le même rayon.

Théorème 1.4 : (Théorème de circonférence) La circonférence d’un cercle Euclidien d’un rayon $R$ est égale à $2\pi R$.

Si vous souhaitez continuer l’étude de la géométrie plane au-delà des figures construites à partir de lignes et de cercles, tôt ou tard, vous devrez composer avec d’autres courbes dans le plan. Dans ce cas, une courbe arbitraire ne peut pas être complètement décrite par un ou deux nombres tels que la longueur ou le rayon; L’invariant de base devient alors la courbure, qui est définie et calculée  en fonction de la position sur une courbe. Formellement, la courbure d’une courbe $\gamma$ dans un plan est définie par $k(t) :=|\ddot\gamma(t)|$. Nous considèrerons la courbe comme étant paramétrisée par une variable t avec le symbole du point supérieur désignant la dérivée par rapport à t.

Géométriquement, la courbure a l’interpretation suivante :
soit p=$\gamma(t)$ un point sur la courbe. Il y a beaucoup de cercles tangents à la courbe $\gamma$ en p – à savoir, les cercles qui ont une représentation paramétrique dont le vecteur  vitesse en p est le même que celui de γ, ou, de façon équivalente, tous les cercles dont les centres se trouvent sur le