Cette section commence avec trois vecteurs $\bf\vec u, \bf v, \bf w$. Nous allons les combiner en utilisant des matrices.

Soient les trois vecteurs $
\bf u=\begin{bmatrix} 1\\-1\\0 \end{bmatrix}
\bf v=\begin{bmatrix} 0\\1\\-1 \end{bmatrix}
\bf w=\begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix}$

Leur combinaisons linéaires dans un espace à 3 dimensions sera $ x_1 \bf u + x_2 \bf v + x_3 \bf w.$
$$
x_1 \begin{bmatrix} 1\\-1\\0 \end{bmatrix} +
x_2 \begin{bmatrix} 0\\1\\-1 \end{bmatrix}
x_3 \begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1\\x_2-x_1\\x_3-x_2 \end{bmatrix}
$$
Maintenant, écrivons cette combinaison sous forme matricielle:

Les vecteurs $\bf u, \bf v, \bf w$ vont former une matrice A telle que

$$\bbox[white,8px] {Ax= \begin{bmatrix} 1&0&0\\-1&1&0\\0&-1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1\\x_2-x_1\\x_3-x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{bmatrix} = \bf b} $$

Les nombres $x_1,x_2,x_3$ sont les coordonnées d’un vecteur $\bf x$.
La matrice A agit sur le vecteur $\bf x$ ce qui donne un vecteur  $\bf b$.

$Ax$ peut être considéré comme des produits scalaires entre lignes:

$Ax = \begin{bmatrix} 1&0&0\\-1&1&0\\0&-1&1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} (0,0,1)&.&(x_1,x_2,x_3)\\(-1,1,0)&.&(x_1,x_2,x_3)\\(0,-1,1)&.&(x_1,x_2,x_3) \end{bmatrix}
$

Cette matrice A $\begin{bmatrix} 1&0&0\\-1&1&0\\0&-1&1 \end{bmatrix}$ est particulière et est appelé matrice différentielle.

Prenons un exemple montrant l’influence de A sur $\bf x = \begin{pmatrix} 1,&4,&9 \end{pmatrix}$
$Ax= \begin{bmatrix} 1&0&0\\-1&1&0\\0&-1&1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} 1\\4\\9 \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} 1-0\\4-1\\9-4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\3\\5\end{bmatrix}$
Nous partons d’un vecteur $\bf x = \begin{pmatrix} 1,&4,&9 \end{pmatrix}$, comprenant des coordonnées au carré et par la transformation matricielle, on obtient un vecteur $ \bf b =\begin{pmatrix} 1,&3,&5\end{pmatrix}$ constitué de coordonnées impaires.

Nous allons faire l’opération inverse : résoudre le système $Ax=b$, connaissant le vecteur $\bf b$.

$\text{Equations Ax=b. } \bbox[white,8px]{\begin{matrix} x_1& & &=&b_1\\ -x_1&+x_2& &=&b_2\\ &-x_2&+x_3&=&b_3 \end{matrix}} $

$$\text{Equations x= } A^{-1}b \text{. } \bbox[white,8px]{\begin{matrix} x_1&=&b_1&&&&\\ x_2&=&b_1&+&b_2&&\\ x_3&=&b_1&+&b_2&+&b_3\\ \end{matrix}} $$

La plupart des systèmes linéaires ne sont pas si faciles à résoudre. Dans cet exemple, $x_1 = b_1$. Puis la seconde équation donne $x_2 = b_1 + b_2$. Ces équations peuvent être résolues dans cet ordre (de haut en bas) car la matrice A est dite triangulaire.

Il existe des cas où il n’est pas possible de trouver des solutions, notamment avec des matrices dites cycliques.

Pour que ce système linéaire, il faut et il suffit que la matrice A soit inversible.